Десять лет понадобилось Эйнштейну чтобы обобщить специальную теорию относительности (1905 г.) до общей теории относительности (1916 г.). позволил осознать, что гравитация как-то связана с искривлением самого . Кульминацией усилий по точной количественной формулировке данного факта являются уравнения Эйнштейна:
\(\displaystyle R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu \nu}=\frac{8\pi G}{c^{4}}T_{\mu \nu}\)
Они записаны с помощью математики, никогда прежде не появлявшейся в уравнениях физики — Римановой геометрии. Буквы с индексами есть не что иное как тензоры: \(\displaystyle R_{\mu \nu}\) — тензор Риччи, \(\displaystyle g_{\mu \nu}\) — метрический тензор, \(\displaystyle T_{\mu \nu}\) — тензор энергии-импульса. Само тензорное исчисление появилось всего несколькими годами ранее теории относительности.
Индексы \(\displaystyle\mu \) и \(\displaystyle \nu\) в уравнениях Эйнштейна могут принимать значения от единицы до четырех, соответственно тензоры можно представить матрицами 4х4. Поскольку они симметричны относительно диагонали, независимы друг от друга оказываются только десять компонент. Таким образом, в развернутом виде имеем систему из десяти нелинейных дифференциальных уравнений — уравнений Эйнштейна.
Задачей решения уравнений Эйнштейна является нахождение явного вида \(\displaystyle g_{\mu \nu}\), полностью характеризующего геометрию пространства-времени. Исходными данными являются тензор энергии-импульса \(\displaystyle T_{\mu \nu}\) и начальные/граничные условия. Тензор Риччи \(\displaystyle R_{\mu \nu}\) и скалярная кривизна Гаусса \(\displaystyle R\) являются функциями метрического тензора и его производных и характеризуют кривизну пространства-времени. Концептуально уравнения Эйнштейна можно представить как:
геометрия (левая часть) = энергия (правая часть)
Правая часть уравнений Эйнштейна это начальные условия в виде распределения масс (помним, \(\displaystyle E=mc^{2}\)), а левая это чисто геометрические величины. То есть уравнения говорят, что масса (энергия) влияет на геометрию пространства-времени.
Искривленная геометрия в свою очередь определяет траектории движения материальных тел. То есть согласно Эйнштейну — гравитация это и есть пространство-время. Просто оно в отличие от Ньютоновской теории не является статическим неизменным объектом, а может деформироваться, искривляться.
Метрический тензор — решение уравнений Эйнштейна — в общем случае разный в разных точках пространства, то есть является функцией координат. По-сути само пространство-время становится динамическим объектом (полем), аналогично другим физическим величинам типа электромагнитного поля.
Внешне уравнения Эйнштейна совсем не похожи на закон всемирного тяготения Ньютона:
\(\displaystyle F=G\frac{mM}{r^2}\)
Но в приближении малых масс и скоростей они повторяют результаты Ньютоновской теории. Из-за множества тензорных компонент аналитические вычисления крайне запутаны, благо сейчас все моделирование можно производить на компьютере.
В рамках ОТО существуют эффекты отсутствующие в Ньютоновской гравитации, например, увлечение систем отсчета вблизи вращающихся массивных тел или недавно экспериментально обнаруженные гравитационные волны.
Гравитация остается единственным полем для которого так и не построена соответствующая квантовая теория. Даже для кварков (составляющих нейтронов и протонов), теоретически предсказанных только в 1960-х, уже давно построена квантовая теория поля.
Это объясняется тем, что все физические величины обычно выражаются в виде функций от пространственных координат и времени \(\displaystyle x=f(t)\). Что делать когда само пространство \(\displaystyle x\) и время \(\displaystyle t\) теряют классический смысл? По-сути стоит задача построить квантовую теорию самого пространства-времени. Наивные подходы, вводящие минимальную длину и минимальный промежуток времени, несостоятельны вследствие
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнение Эйнштейна – та самая знаменитая формула релятивистской механики – устанавливает связь между массой покоящегося тела и его полной энергией:
Здесь – полная энергия тела (так называемая энергия покоя), – его , а – света в вакууме, которая приблизительно равна м/с.
Уравнение Эйнштейна
Формула Эйнштейна утверждает, что масса и энергия эквивалентны друг другу. Это значит, что любое тело обладает – энергией покоя – пропорциональной его массе. В свое время природа затратила энергию, чтобы собрать это тело из элементарных частиц материи, и энергия покоя служит мерой этой работы.
Действительно, при изменении внутренней энергии тела его масса изменяется пропорционально изменению энергии:
Например, при нагреве тела его внутренняя энергия возрастает, и масса тела увеличивается. Правда, эти изменения настолько малы, что в повседневной жизни мы их не замечаем: при нагреве 1 кг воды на она станет тяжелее на 4,7 10 -12 кг.
Кроме того, масса может преобразовываться в энергию, и наоборот. Преобразование массы в энергию происходит при ядерной реакции: масса ядер и частиц, образовавшихся в результате реакции, меньше, чем масса столкнувшихся ядер и частиц, а получившийся дефект массы превращается в энергию. А при фотонном рождении несколько фотонов (энергия) превращаются в электрон, вполне материальный и имеющий массу покоя.
Уравнение Эйнштейна для движущегося тела
Для движущегося тела уравнений Эйнштейна выглядит:
В этой формуле v – скорость, с которой движется тело.
Из последней формулы можно сделать несколько важных выводов:
1) Каждое тело, обладает определенную энергию, которая больше нуля. Поэтому title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="34" width="102" style="vertical-align: -11px;"> , а значит, v
2) Некоторые частицы – например, фотоны – не имеют массы, а вот энергия у них есть. При подстановке в последнюю формулу мы получили бы не соответствующее действительности , если бы не одно «но»: эти частицы движутся со скоростью света с=3 10 8 м/с. Знаменатель формулы Эйнштейна при этом обращается в нуль: она не подходит для расчёта энергии безмассовых частиц.
Формула Эйнштейна показала, что в веществе содержится колоссальный запас энергии – и тем самым сыграла неоценимую роль в развитии ядерной энергетики, а также подарила военной промышленности атомную бомбу.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | -мезон имеет массу покоя кг и движется со скоростью 0,8с. Какова его ? |
| Решение | Найдем скорость -мезона в единицах СИ:
Рассчитаем энергию покоя -мезона по формуле Эйнштейна: Полная энергия -мезона: Полная энергия -мезона состоит из энергии покоя и кинетической энергии. Поэтому кинетическая энергия: |
| Ответ | Дж |
Вы видели ее везде: на одежде, сумках, автомобилях, татуированных людях, в интернете, в рекламе по телевизору. Возможно, даже в учебнике. Стивен Хокинг включил в свою книгу только ее, единственную, а одна поп-певица назвала этой формулой свой альбом. Интересно, знала она при этом, в чем смысл формулы? Хотя вообще, это дело не наше, и дальше не об этом.
Как вы поняли, речь ниже пойдет о самой эпичной и знаменитой формуле Эйнштейна:
Пожалуй, это самая популярная физическая формула. Но в чем ее смысл? Уже знаете? Отлично! Тогда предлагаем ознакомиться с другими, не такими известными, но не менее полезными формулами , которые действительно могут пригодиться при решении разных задач .
А тем, кто хочет узнать смысл формулы Эйнштейна быстро и без копания в учебниках, добро пожаловать в нашу статью!
Формула Эйнштейна - самая знаменитая формула
Интересно, что Эйнштейн не был преуспевающим учеником и даже имел проблемы с получением аттестата зрелости. Когда его спрашивали, как он смог придумать теорию относительности, физик отвечал: "Нормальный взрослый человек вообще не задумывается над проблемой пространства и времени. По его мнению, он уже думал об этой проблеме в детстве. Я же развивался интеллектуально так медленно, что пространство и время занимали мои мысли, когда я стал уже взрослым. Естественно, я мог глубже проникать в проблему, чем ребёнок с нормальными наклонностями".
1905 год называют годом чудес, так как именно тогда была заложена основа для научной революции.
Что есть что в формуле Эйнштейна
Вернемся к формуле. В ней всего три буквы: E , m и c . Если бы все в жизни было так просто!
Каждый школьник в шестом классе уже знает, что:
- m – это масса. В ньютоновской механике - скалярная и аддитивная физическая величина, мера инертности тела.
- с в формуле Эйнштейна – скорость света. Максимальная возможная скорость в мире, считается фундаментальной физической константой. Скорость света равна 300000 (примерно) километров в секунду.
- E – энергия. Фундаментальная мера взаимодействия и движения материи. В этой формуле фигурирует не кинетическая и не потенциальная энергия. Здесь E - энергия покоя тела.
Важно понимать, что в теории относительности механика Ньютона – частный случай. Когда тело движется со скоростью, близкой к с , масса изменяется. В формуле m обозначает массу покоя.
Так вот, формула связывает эти три величины и называется еще законом или принципом эквивалентности массы и энергии.
Масса – мера содержания энергии в теле.
Смысл формулы Эйнштейна: связь энергии и массы
Как это работает? Например: жаба греется на солнце, девушки в бикини играют в волейбол, вокруг красота. Почему все это происходит? Прежде всего, из-за термоядерного синтеза, который протекает внутри нашего Солнца.
Там атомы водорода сливаются, образуя гелий. На других звездах протекают такие же реакции или реакции с более тяжелыми элементами, но суть остается той же. В результате реакции выделяется энергия, которая летит к нам в виде света, тепла, ультрафиолетового излучения и космических лучей.
Откуда берется эта энергия? Дело в том, что масса двух вступивших в реакцию атомов водорода больше, чем масса образовавшегося в результате атома гелия. Эта разница масс и превращается в энергию!
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Еще один пример - механизм работы ядерного реактора .
Термоядерный синтез на Солнце неуправляемый. Люди уже освоили этот тип синтеза на Земле и построили водородную бомбу. Если бы мы могли замедлить реакцию и получить управляемый термоядерный синтез, у нас был бы практически неиссякаемый источник энергии.
О материи и энергии
Итак, мы выяснили смысл формулы и рассказали о принципе эквивалентности массы и энергии.
Массу можно превратить в энергию, а энергии соответствует некоторая масса.
При этом важно не путать понятия материи и энергии и понимать, это это разные вещи.
Фундаментальный закон природы – закон сохранения энергии. Он гласит, что энергия ниоткуда не берется и никуда не девается, ее количество во Вселенной постоянно, изменяется только форма. Закон сохранения массы является частным случаем для закона сохранения энергии.
Что есть энергия, а что - материя? Посмотрим на вещи с вот такой стороны: когда частица движется со скоростью, близкой к скорости света, она рассматривается как излучение, то есть энергия. Покоящаяся или движущаяся с медленной скоростью частица определяется как материя.
В момент Большого Взрыва материи не существовало, была лишь энергия. Потом Вселенная остыла, и часть энергии перешла в материю.
Сколько энергии заключено в материи? Зная массу тела, мы можем рассчитать, чему равна энергия этого тела согласно формуле Эйнштейна. Скорость света сама по себе немаленькая величина, а ее квадрат – и подавно. Это значит, что в очень маленьком кусочке материи заключена огромная энергия. Подтверждение тому – атомная энергетика.
Таблетка ядерного топлива (на АЭС используется обогащенный уран) весит 4,5 грамма. Но дает энергию, эквивалентную энергии от сжигания 400 килограммам угля. Хороший КПД, не так ли?
Итак, самая знаменитая формула физики говорит о том, что материю можно преобразовать в энергию и наоборот. Энергия никуда не исчезает, а лишь изменяет свою форму.
Не будем приводить вывод формулы Эйнштейна - там нас ждут гораздо более сложные формулы, а они могут отбить у начинающих ученых весь интерес к науке. Наш студенческий сервис готов оказать помощь в решении вопросов по учебе. Сохраните энергию и силы с помощью наших экспертов!
Мы можем теперь перейти к выводу уравнений гравитационного поля. Эти уравнения получаются из принципа наименьшего действия , где - действия соответственно для гравитационного поля и материи 2). Варьированию подвергается теперь гравитационное поле, т. е. величины
Вычислим вариацию . Имеем:
Подставляя сюда, согласно (86,4),
Для вычисления заметим, что хотя величины и не составляют тензора, но их вариации образуют тензор. Действительно, есть изменение вектора при параллельном переносе (см. (85,5)) из некоторой точки Р в бесконечно близкую к ней Р. Поэтому есть разность двух векторов, получающихся соответственно при двух параллельных переносах (с неварьированными и варьированными Ты) из точки Р в одну и ту же точку Р. Разность же двух векторов в одной и той же точке является вектором, а потому есть тензор.
Воспользуемся локально-геодезической системой координат. Тогда в данной точке все . С помощью выражения (92,7) для имеем (помня, что первые производные от равны теперь нулю):
Поскольку есть вектор, то мы можем написать полученное соотношение в произвольной системе координат в виде
(заменяя на и пользуясь (86,9)). Следовательно, второй интеграл справа в (95,1) равен
и по теореме Гаусса может быть преобразован в интеграл от по гиперповерхности, охватывающей весь -объем.
Поскольку на пределах интегрирования вариация поля равна нулю, то этот член исчезает. Таким образом, вариация равна
Заметим, что если бы мы исходили из выражения
для действия поля, то мы получили бы, как легко убедиться,
Сравнивая это с (95,2), находим следующее соотношение:
Для вариации действия материи можно написать согласно (94,5)
где - тензор энергии-импульса материи (включая электромагнитное поле). Гравитационное взаимодействие играет роль только для тел с достаточно большой массой (благодаря малости гравитационной постоянной). Поэтому при исследовании гравитационного поля нам приходится обычно иметь дело с макроскопическими телами. Соответственно этому для надо обычно писать выражение (94,9).
Таким образом, из принципа наименьшего действия находим:
откуда ввиду произвольности
или в смешанных компонентах
Это и есть искомые уравнения гравитационного поля - основные уравнения общей теории относительности. Их называют уравнениями Эйнштейна.
Упрощая (95,6) по индексам i и k, находим:
Поэтому уравнения поля можно написать также в виде
Уравнения Эйнштейна нелинейны. Поэтому для гравитационных полей несправедлив принцип суперпозиции. Этот принцип справедлив лишь приближенно для слабых полей, допускающих линеаризацию уравнений Эйнштейна (к ним относятся, в частности, гравитационные поля в классическом, ньютоновском пределе см. § 99).
В пустом пространстве и уравнения гравитационного поля сводятся к уравнениям
Напомним, что это отнюдь не значит, что пустое пространство время является плоским, - для этого требовалось бы выполнение более сильных условий
Тензор энергии-импульса электромагнитного поля обладает тем свойством, что (см. (33,2)). Ввиду (95,7) отсюда следует, что при наличии одного только электромагнитного поля без каких-либо масс скалярная кривизна пространства-времена равна нулю.
Как мы знаем, дивергенция тензора энергии-импульса равна нулю:
Поэтому должна быть равна нулю также и дивергенция лево части уравнения (95,6). Это действительно так в силу тождества (92,10).
Таким образом, уравнения (95,10) по существу содержатся в уравнениях поля (95,6). С другой стороны, уравнения (95,10), выражая собой законы сохранения энергии и импульса, содержат в себе уравнения движения той физической системы, к которой относится рассматриваемый тензор энергии-импульса (т. е. уравнения движения материальных частиц или вторую пару уравнений Максвелла).
Таким образом, уравнения гравитационного поля содержат в себе также и уравнения для самой материи, которая создает это поле. Поэтому распределение и движение материи, создающей гравитационное поле, отнюдь не могут быть заданы произвольным образом. Напротив, они должны быть определены (посредством решения уравнений поля при заданных начальных условиях) одновременно с самим создаваемым этой материей полем.
Обратим внимание на принципиальное отличие этой ситуации от того, что мы имели в случае электромагнитного поля. Уравнения этого поля (уравнения Максвелла) содержат в себе только уравнение сохранения полного заряда (уравнение непрерывности), но не уравнения движения самих зарядов. Поэтому распределение и движение зарядов могут буть заданы произвольным образом, лишь бы полный заряд был постоянным. Заданием этого распределения зарядов определяется тогда посредством уравнений Максвелла создаваемое ими электромагнитное поле.
Надо, однако, уточнить, что для полного определения распределения и движения материи в случае гравитационного поля к уравнениям Эйнштейна надо присоединить еще (не содержащееся, конечно, в них) уравнение состояния вещества, т. е. уравнение, связывающее между собой давление и плотность. Это уравнение должно быть задано наряду с уравнениями поля.
Четыре координаты могут быть подвергнуты произвольному преобразованию. Посредством этого преобразования можно произвольным образом выбрать четыре из десяти компонент тензора . Поэтому независимыми неизвестными функциями являются только шесть из величин Далее, четыре компоненты входящей в тензор энергии-импульса материи 4-скорости связаны друг с другом соотношением , так что независимыми являются только три из них. Таким образом, мы имеем, как и следовало, десять уравнений поля (95,5) для десяти неизвестных величин: шести из компонент , трех из компонент и плотности материи (или ее давления ). Для гравитационного поля в пустоте остается всего шесть неизвестных величин (компонент ) и соответственно понижается число независимых уравнений поля: десять уравнений связаны четырьмя тождествами (92,10).
Отметим некоторые особенности структуры уравнений Эйнштейна. Они представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Однако в уравнения входят вторые производные по времени не от всех 10 компонент . Действительно, из (92,1) видно, что вторые производные по времени содержатся только в компонентах тензора кривизны, куда они входят в виде члена (точкой обозначаем дифференцирование по ); вторые же производные от компонент метрического тензора вообще отсутствуют. Ясно поэтому, что и получающийся путем упрощения из тензора кривизны тензор , а с ним и уравнения (95,5) тоже содержат вторые производные по времени лишь от шести пространственных компонент
Легко также видеть, что эти производные входят лишь в -уравнения (95,6), т. е. в уравнения
(95,11)
Уравнения же и , т. е. уравнения
содержат производные по времени лишь первого порядка. В этом можно убедиться, проверив, что при образовании путем свертывания величин компоненты вида действительно выпадают. Еще проще увидеть это из тождества (92,10) записав его в виде
Старшие производные по времени, входящие в правую часть этого равенства, - вторые производные (фигурирующие в самих величинах ). Поскольку (95,13) - тождество, то и его левая сторона должна, следовательно, содержать производные по времени не выше второго порядка. Но одно дифференцирование. по времени фигурирует уже в нем явным образом; поэтому сами выражения могут содержать производные по времени не выше первого порядка.
Более того, левые стороны уравнений (95,12) не содержат также и первых производных (а лишь производные ). Действительно, из всех эти производные содержат только , а эти величины в свою очередь входят только в компоненты тензора кривизны вида , которые, как мы уже знаем, выпадают при образовании левых сторон уравнений (95,12).
Если интересоваться решением уравнений Эйнштейна при заданных начальных (по времени) условиях, то возникает вопрос о том, для скольких величин могут быть произвольно заданы начальные пространственные распределения.
Начальные условия для уравнений второго порядка должны включать начальные распределения как самих дифференцируемых величин, так и их первых производных по времени. Однако поскольку в данном случае уравнения содержат вторые производные лишь от шести , то в начальных условиях не могут быть произвольно заданы все . Так, можно задать (наряду со скоростью и плотностью материи) начальные значения функций и , после чего из 4 уравнений (95,12) определятся допустимые начальные значения ; в уравнениях же (95,11) останутся еще произвольными начальные значения
Все попытки объяснить явление фотоэффекта на основе волновой теории света оказались безрезультатными. Объяснение фотоэффекта было дано А. Эйнштейном в 1905 году. Экспериментальные законы фотоэффекта Эйнштейн рассмотрел с позиций квантовой теории света. Как известно, чтобы вырвать электрон из металла, необходимо затратить некоторую энергию. Энергия, необходимая для вырывания электрона из металла, называется работой выхода. Энергия падающего кванта расходуется на работу выхода и на кинетическую энергию выбитого электрона:
где hv - энергия падающего кванта, А - работа выхода, - кинетическая энергия вырванного с поверхности металла электрона.
Формула (4) носит название уравнения Эйнштейна для фотоэффекта. Это уравнение объясняет основные экспериментальные законы и вид вольт-амперной характеристики фотоэлемента (рис. 19 и 20).
Интенсивность света, согласно квантовой теории, пропорциональна числу квантов энергии падающего света. Поэтому число вырванных электронов с увеличением светового потока увеличивается и, следовательно, увеличивается ток насыщения (рис. 19).
Максимальная кинетическая энергия вырванных электронов, а следовательно, и задерживающий потенциал U з, определяется согласно формуле (3) только частотой света и работой выхода. Работа выхода А определяется лишь родом металла. Поэтому с увеличением частоты падающего света увеличивается кинетическая энергия вырванных электронов и задерживающий потенциал U з (рис. 20). От величины светового потока кинетическая энергия не зависит (см. форм. 3).
Для каждого вещества фотоэффект наблюдается лишь в том случае, если частота v света больше минимального значения v 0 . Из уравнения Эйнштейна следует, что для вырывания электронов из металла необходимо затратить работу выхода - А . Следовательно, для того, чтобы вырвать электрон, энергия кванта должна быть больше этой работы выхода hv >А . Предельная частота v 0 (красная граница фотоэффекта) выражается: v 0 =A /h . Поскольку работа выхода А определяется родом вещества, предельная частота v 0 (красная граница) для разных веществ различна. Для цинка красной границе соответствует длина волны λ=3,7·10 -7 м (ультрафиолетовая область). Напомним, что длина волны света связана с частотой следующим соотношением λ 0 =c /v 0 .
Вопросы
1. Нарисовать зависимость кинетической энергии вырванных фотоэлектронов от величины падающего светового потока для частот v 1 и v 2 , причем v 1 > v 2 .
2. Между катодом и анодом приложен задерживающий потенциал, такой, что вырванные фотоэлектроны пролетают только половину расстояния между анодом и катодом. Смогут ли они долететь до анода, если расстояние между катодом и анодом уменьшить вдвое?